슈뢰딩거의 방정식

슈뢰딩거의 방정식

슈뢰딩거의 방정식은 비 상대론적인 양자역하적의 시간에 따라서 진화를 표현하는 선형 편미분 방정식입니다. 오스트리아의 물리학자인 에르빈 슈뢰딩거가 도입한 방정식으로 그가 만들어낸 파동역학에 대한 기본 방적식이라고 할 수 있습니다.

정의

파동함수에 대한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같습니다.

해밀토니언 연산 는 고전적 해밀토니언에 해당하는 연산자입니다. 해당 해밀토니언 연산 뒤를 양자화하여 얻습니다 의 경우에는 폴 디랙의 브라켓 표기 - 를 사용하여 나타내어 슈뢰딩거 묘사에서 힐베르트 공간의 상태 벡터 입니다. 그리고 해당 파동함수인 으로 나타낼 수 있습니다.

파동 함수에 대해서 이에 대한 해석은 코펜하겐 해석을 참조하면 더 좋습니다.

계속 이어서 하자면 해밀토니언 연산자인 의 경우 보통적인 미분 연산자 입니다. 예시로 퍼텐셜 안에 있는 질량이 인 비상대론적인 입자의 경우에 해밀토니언은 사진과 같은 2차 미분 연산자를 보였습니다.

요약하자면 슈뢰딩거의 방정식은 사진과 같이 2차 편미분 방정식이 됩니다.

라그랑지언과 이차 양자화

슈뢰딩거 방정식은 사진과 같이 라그랑지언으로 부터 유도할 수 있습니다.

예시로 퍼텐셜 속에 있는 질량인 이 비상대론적 입자의 경우에 슈뢰딩거 라그랑지언은

이와 같습니다.

여기서 두 번째 표현을 보자면 전미분항을 무시하고 사용한 것입니다.

이 라그랑지언을 고전적 가환 과 반가환 장의 라그랑지언으로 여겨지며, 양자장론으로 이차 양자화를 시킬 수 있습니다. 물론 이 경우 외부 배경장 안에서의 움직이는 임의의 수에 대해서 비상대론적 보손 과 그밖에 페르미온을 표현하는 양자장론을 얻습니다. 또한 이와 같은 경우에는 비선형 상호작용항을 추가를 할 수 있습니다. 추가로 그로스-피타옙스키 방정식이 이와 유사하다

역사

1905년경 우리들의 일그러진 영웅 알베르트 아인슈타인은 광전 효과에 대해서 설명을 하기 위해서 광자의 에너지 E와 진동수 ν, 플랑크 상수 h 사이의 관계에 대해서

으로 나타내었습니다. 이후 1924년경 루이 드 브로이는 광자 만이 아닌 모든 입자가 대응되는 파동함수인 를 가진다는 드 브로이 가설을 발표하였습니다.

파동의 파장 p 와 입자의 운동량 p에 대해서

와 같은 관계식으로 제안하였고, 해당 관계식이 특수상대론과 바로 위의 아인슈타인이 제안한 식및 일관됨을 보였습니다. 이뜻은 E = hν는 광자만이 아니라 모든 입자에 대해서 성립한다는 것입니다.

위 식들을 각진동수인 와 파수 및 를 이용하여 표현하게 되면,

으로 표현되고 p and k를 벡터로 표현하게되면

와 같이 표현됩니다.

에르빈 슈뢰딩거는 슈뢰딩거 방정식을 1925년도에 발표하였는데, 슈뢰딩거는 평면파의 위상을 복소 위상인자로 표현하였습니다.

그리고 슈뢰딩거는

이므로

이며,

이므로

이기때문에

및 각 방향의 부분들에 대해서 더하게 되면

과 같이 성립함을 깨닫게 되었습니다.

그리고 해당 식을 총 에너지 E 및 질량 m 및 위치에너지에 대해서 고전역학적 공식을

에 대입하게 되었고 당시에 슈뢰딩거가 발견했던 위치에너지가 주어진 3차원 공간 상에서의 단일 입자에 대한 공식에 도달하였습니다.

관련 방정식

슈뢰딩거 방정식은 비상대론적인 관점을 가지며 특수상대론과는 불합합니다. 슈뢰딩거 방정식을 상대론적으로 일반화 하게 되면 스핀에 따라서 클라인 고든의 방적식 또는 디랙 방정식을 얻습니다. 이들은 비상대론적인 극한인 곳에서 슈뢰딩거 방정식으로 슈렴하게 됩니다.

그리고 슈뢰딩거의 방정식에 대해서 비인 항을 추가할 수 있게됩니다. 예시를 들자면 응집물질물리학에 대해서 보스-아인슈타인 응축을 표현하기 위해서 사용하게되는 그로스-피타예스키 방정식은 슈뢰딩거의 방정식에 대해서 상승 상호작용에 대한것을 추가한 것입니다.